Ah tu veux dire la cohérence ? En effet, l'énoncé tel que je lis sur wiki du deuxième théorème dit qu'il n'est pas possible de démontrer, dans un son langage propre, la cohérence d'une théorie contenant l'arithmétique.Vermeer wrote:0=1Faiseur de Tresses wrote: Qu'appelles-tu version "simple" ?
Je te cite un paragraphe de wiki :
On voit par ces diverses remarques que le second théorème d'incomplétude ne dit rien en défaveur de la cohérence d'une théorie à laquelle il s'applique, par exemple la cohérence de l'arithmétique de Peano. Tout ce qu'il dit de cette dernière est que l'on ne peut pas la démontrer en utilisant seulement les axiomes de l'arithmétique, c'est-à-dire essentiellement la récurrence sur les entiers. Nous revenons sur ce point plus bas, mais remarquons tout de suite que c'est ici que le programme de Hilbert est contredit : Hilbert voulait démontrer la cohérence des mathématiques dans un fragment finitaire de celles-ci, c'est-à-dire dans une théorie comme l'arithmétique ne permettant de manipuler que des objets finis (des entiers, des formules, des démonstrations...) ; or une telle théorie satisfait les hypothèses des deux théorèmes donc est incomplète et ne prouve pas sa propre cohérence. Ainsi les théorèmes de Gödel ont pour corollaire, au sens mathématique du terme, l'impossibilité de réaliser le programme de Hilbert.
